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// cl_UDS_divide().
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// General includes.
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#include "cl_sysdep.h"
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// Specification.
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#include "cl_DS.h"
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// Implementation.
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#include "cl_N.h"
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#include "cln/abort.h"
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namespace cln {
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// We observe the following timings in seconds:
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// Time for dividing a 2*n word number by a n word number:
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// OS: Linux 2.2, intDsize==32, OS: TRU64/4.0, intDsize==64,
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// Machine: P-III/450MHz Machine: EV5/300MHz:
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// n standard Newton standard Newton
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// 10 0.000010 0.000024 0.000036 0.000058
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// 30 0.000026 0.000080 0.00012 0.00027
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// 100 0.00018 0.00048 0.00084 0.0016
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// 300 0.0013 0.0028 0.0062 0.0090
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// 1000 0.014 0.019 0.064 0.066 <-(~2200)
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// 2000 0.058 0.058 <-(~2000) 0.26 0.20
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// 3000 0.20 0.11 0.57 0.24
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// 10000 2.3 0.50 6.7 1.2
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// 30000 24.4 1.2 62.0 2.8
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// Time for dividing a 3*n word number by a n word number:
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// OS: Linux 2.2, intDsize==32, OS: TRU64/4.0, intDsize==64,
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// Machine: P-III/450MHz Machine: EV5/300MHz:
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// n standard Newton standard Newton
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// 10 0.000013 0.000040 0.000063 0.00011
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// 30 0.000046 0.00018 0.00024 0.00062
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// 100 0.00035 0.0012 0.0016 0.0040
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// 300 0.0027 0.0071 0.012 0.021
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// 1000 0.029 0.047 0.13 0.16
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// 2000 0.12 0.14 <-(~2200) 0.51 0.45 <-(~1600)
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// 3000 0.40 0.22 1.1 0.52
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// 10000 4.5 0.76 13.2 2.0
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// 30000 42.0 2.8 123.0 6.0
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// Time for dividing m digits by n digits:
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// OS: Linux 2.2, intDsize==32, OS: TRU64/4.0, intDsize==64,
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// Machine: P-III/450MHz Machine: EV5/300MHz:
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// n Newton faster for: Newton faster for:
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// 2-400 never never
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// 600 never 670<m<900 (definitly negligible)
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// 800 never 850<m<1500
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// 1000 never 1030<m<2000
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// 1200 1400<m<1700 1230<m<2700
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// 1500 1590<m<2500 1530<m<5100, 6600<m (ridge negligible)
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// 2000 2060<m<3600 2030<m
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// 3000 3040<m 3030<m
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// 4000 4030<m 4030<m
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// 5000 5030<m 5030<m
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// 8000 8030<m 8030<m
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// Break-even-point, should be acceptable for both architectures.
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// When in doubt, prefer to choose the standard algorithm.
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#if CL_USE_GMP
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static inline cl_boolean cl_recip_suitable (uintL m, uintL n) // m > n
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{ if (n < 900)
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return cl_false;
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else
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if (n < 2200)
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return (cl_boolean)((m >= n+50) && (m < 2*n-600));
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else
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return (cl_boolean)(m >= n+30);
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}
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#else
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// Use the old default values from CLN version <= 1.0.3 as a crude estimate.
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// They came from the timings for dividing m digits by n digits on an i486/33:
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// Dividing 2*N digits by N digits: Dividing 3*N digits by N digits:
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// N standard Newton standard Newton
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// 10 0.0003 0.0012 0.0006 0.0025
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// 25 0.0013 0.0044 0.0026 0.0103
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// 50 0.0047 0.0125 0.0092 0.030
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// 100 0.017 0.037 0.035 0.089
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// 250 0.108 0.146 0.215 0.362
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// 500 0.43 0.44 <-(~550) 0.85 1.10
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// 1000 1.72 1.32 3.44 3.21 <-(~740)
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// 2500 11.2 4.1 23.3 7.9
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// 5000 44.3 9.5 89.0 15.6
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// 10000 187 20.6 362 33.1
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// Time for dividing m digits by n digits:
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// n = 2,3,5,10,25,50,100,250: Newton never faster.
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// n = 400: Newton faster for m >= 440, m < 600
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// n = 500: Newton faster for m >= 530, m < 900
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// n = 600: Newton faster for m >= 630, m < 1250
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// n = 700: Newton faster for m >= 730, m < 1530
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// n = 800: Newton faster for m >= 825, m < 2600 or m >= 5300
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// n = 900: Newton faster for m >= 925, m < 2700 or m >= 3400
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// n = 1000: Newton faster for m >= 1020
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// n = 1500: Newton faster for m >= 1520
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// n = 2000: Newton faster for m >= 2020
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// n = 2500: Newton faster for m >= 2520
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// n = 5000: Newton faster for m >= 5020
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static inline cl_boolean cl_recip_suitable (uintL m, uintL n) // m > n
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{ if (n < 500)
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return cl_false;
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else
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if (n < 1000)
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return (cl_boolean)((m >= n+30) && (m < 3*n-600));
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else
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return (cl_boolean)(m >= n+20);
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}
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#endif
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// Dividiert zwei Unsigned Digit sequences durcheinander.
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// UDS_divide(a_MSDptr,a_len,a_LSDptr, b_MSDptr,b_len,b_LSDptr, &q,&r);
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// Die UDS a = a_MSDptr/a_len/a_LSDptr (a>=0) wird durch
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// die UDS b = b_MSDptr/b_len/b_LSDptr (b>=0) dividiert:
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// a = q * b + r mit 0 <= r < b. Bei b=0 Error.
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// q der Quotient, r der Rest.
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// q = q_MSDptr/q_len/q_LSDptr, r = r_MSDptr/r_len/r_LSDptr beides
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// Normalized Unsigned Digit sequences.
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// Vorsicht: q_LSDptr <= r_MSDptr,
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// Vorzeichenerweiterung von r kann q zerstören!
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// Vorzeichenerweiterung von q ist erlaubt.
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// a und b werden nicht modifiziert.
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//
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// Methode:
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// erst a und b normalisieren: a=[a[m-1],...,a[0]], b=[b[n-1],...,b[0]]
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// mit m>=0 und n>0 (Stellensystem der Basis beta=2^intDsize).
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// Falls m<n, ist q:=0 und r:=a.
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// Falls m>=n=1, Single-Precision-Division:
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// r:=0, j:=m,
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// while j>0 do
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// {Hier (q[m-1]*beta^(m-1)+...+q[j]*beta^j) * b[0] + r*beta^j =
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// = a[m-1]*beta^(m-1)+...+a[j]*beta^j und 0<=r<b[0]<beta}
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// j:=j-1, r:=r*beta+a[j], q[j]:=floor(r/b[0]), r:=r-b[0]*q[j].
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// Normalisiere [q[m-1],...,q[0]], liefert q.
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// Falls m>=n>1, Multiple-Precision-Division:
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// Es gilt a/b < beta^(m-n+1).
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// s:=intDsize-1-(Nummer des höchsten Bits in b[n-1]), 0<=s<intDsize.
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// Schiebe a und b um s Bits nach links und kopiere sie dabei. r:=a.
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// r=[r[m],...,r[0]], b=[b[n-1],...,b[0]] mit b[n-1]>=beta/2.
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// Für j=m-n,...,0: {Hier 0 <= r < b*beta^(j+1).}
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// Berechne q* :
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// q* := floor((r[j+n]*beta+r[j+n-1])/b[n-1]).
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// Bei Überlauf (q* >= beta) setze q* := beta-1.
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// Berechne c2 := ((r[j+n]*beta+r[j+n-1]) - q* * b[n-1])*beta + r[j+n-2]
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// und c3 := b[n-2] * q*.
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// {Es ist 0 <= c2 < 2*beta^2, sogar 0 <= c2 < beta^2 falls kein
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// Überlauf aufgetreten war. Ferner 0 <= c3 < beta^2.
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// Bei Überlauf und r[j+n]*beta+r[j+n-1] - q* * b[n-1] >= beta,
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// das heißt c2 >= beta^2, kann man die nächste Abfrage überspringen.}
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// Solange c3 > c2, {hier 0 <= c2 < c3 < beta^2} setze
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// q* := q* - 1, c2 := c2 + b[n-1]*beta, c3 := c3 - b[n-2].
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// Falls q* > 0:
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// Setze r := r - b * q* * beta^j, im einzelnen:
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// [r[n+j],...,r[j]] := [r[n+j],...,r[j]] - q* * [b[n-1],...,b[0]].
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// also: u:=0, for i:=0 to n-1 do
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// u := u + q* * b[i],
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// r[j+i]:=r[j+i]-(u mod beta) (+ beta, falls Carry),
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// u:=u div beta (+ 1, falls bei der Subtraktion Carry)
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// r[n+j]:=r[n+j]-u.
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// {Da stets u = (q* * [b[i-1],...,b[0]] div beta^i) + 1
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// < q* + 1 <= beta, läuft der Übertrag u nicht über.}
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// Tritt dabei ein negativer Übertrag auf, so setze q* := q* - 1
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// und [r[n+j],...,r[j]] := [r[n+j],...,r[j]] + [0,b[n-1],...,b[0]].
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// Setze q[j] := q*.
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// Normalisiere [q[m-n],..,q[0]] und erhalte den Quotienten q,
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// Schiebe [r[n-1],...,r[0]] um s Bits nach rechts, normalisiere und
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// erhalte den Rest r.
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// Dabei kann q[j] auf dem Platz von r[n+j] liegen.
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void cl_UDS_divide (const uintD* a_MSDptr, uintC a_len, const uintD* a_LSDptr,
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const uintD* b_MSDptr, uintC b_len, const uintD* b_LSDptr,
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uintD* roomptr, // ab roomptr kommen a_len+1 freie Digits
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DS* q_, DS* r_)
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{ // a normalisieren (a_MSDptr erhöhen, a_len erniedrigen):
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while ((a_len>0) && (mspref(a_MSDptr,0)==0)) { msshrink(a_MSDptr); a_len--; }
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// b normalisieren (b_MSDptr erhöhen, b_len erniedrigen):
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loop
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{ if (b_len==0) { cl_error_division_by_0(); }
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if (mspref(b_MSDptr,0)==0) { msshrink(b_MSDptr); b_len--; }
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else break;
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}
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// jetzt m=a_len >=0 und n=b_len >0.
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if (a_len < b_len)
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// m<n: Trivialfall, q=0, r:= Kopie von a.
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{ var uintD* r_MSDptr = roomptr;
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var uintD* r_LSDptr = roomptr mspop a_len;
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// Speicheraufbau: r_MSDptr/0/r_MSDptr/a_len/r_LSDptr
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// | q | r |
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copy_loop_lsp(a_LSDptr,r_LSDptr,a_len);
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q_->MSDptr = r_MSDptr; q_->len = 0; q_->LSDptr = r_MSDptr; // q = 0, eine NUDS
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r_->MSDptr = r_MSDptr; r_->len = a_len; r_->LSDptr = r_LSDptr; // r = Kopie von a, eine NUDS
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return;
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}
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elif (b_len==1)
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// n=1: Single-Precision-Division
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{ // beta^(m-1) <= a < beta^m ==> beta^(m-2) <= a/b < beta^m
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var uintD* q_MSDptr = roomptr;
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var uintD* q_LSDptr = q_MSDptr mspop a_len;
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var uintD* r_MSDptr = q_LSDptr;
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var uintD* r_LSDptr = r_MSDptr mspop 1;
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// Speicheraufbau: q_MSDptr/a_len/q_LSDptr r_MSDptr/1/r_LSDptr
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// | q | | r |
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{var uintD rest = divucopy_loop_msp(mspref(b_MSDptr,0),a_MSDptr,q_MSDptr,a_len); // Division durch b[0]
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var uintC r_len;
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if (!(rest==0))
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{ mspref(r_MSDptr,0) = rest; r_len=1; } // Rest als r ablegen
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else
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{ r_MSDptr = r_LSDptr; r_len=0; } // Rest auf 0 normalisieren
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if (mspref(q_MSDptr,0)==0)
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{ msshrink(q_MSDptr); a_len--; } // q normalisieren
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q_->MSDptr = q_MSDptr; q_->len = a_len; q_->LSDptr = q_LSDptr; // q ablegen
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r_->MSDptr = r_MSDptr; r_->len = r_len; r_->LSDptr = r_LSDptr; // r ablegen
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return;
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}}
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else
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// n>1: Multiple-Precision-Division
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{ // beta^(m-1) <= a < beta^m, beta^(n-1) <= b < beta^n ==>
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// beta^(m-n-1) <= a/b < beta^(m-n+1).
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var uintL s;
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CL_ALLOCA_STACK;
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// s bestimmen:
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{ var uintD msd = mspref(b_MSDptr,0); // b[n-1]
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#if 0
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s = 0;
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while ((sintD)msd >= 0) { msd = msd<<1; s++; }
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#else // ein wenig effizienter, Abfrage auf s=0 vorwegnehmen
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if ((sintD)msd < 0)
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{ s = 0; goto shift_ok; }
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else
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{ integerlengthD(msd, s = intDsize - ); goto shift; }
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#endif
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}
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// 0 <= s < intDsize.
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// Kopiere b und schiebe es dabei um s Bits nach links:
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if (!(s==0))
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shift:
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{ var uintD* new_b_MSDptr;
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var uintD* new_b_LSDptr;
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num_stack_alloc(b_len,new_b_MSDptr=,new_b_LSDptr=);
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shiftleftcopy_loop_lsp(b_LSDptr,new_b_LSDptr,b_len,s);
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b_MSDptr = new_b_MSDptr; b_LSDptr = new_b_LSDptr;
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}
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shift_ok:
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// Wieder b = b_MSDptr/b_len/b_LSDptr.
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// Kopiere a und schiebe es dabei um s Bits nach links, erhalte r:
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{var uintD* r_MSDptr = roomptr;
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var uintD* r_LSDptr = roomptr mspop (a_len+1);
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|
// Speicheraufbau: r_MSDptr/ a_len+1 /r_LSDptr
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// | r |
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// später: q_MSDptr/a_len-b_len+1/r_MSDptr/b_len/r_LSDptr
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// | q | r |
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if (s==0)
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{ copy_loop_lsp(a_LSDptr,r_LSDptr,a_len); mspref(r_MSDptr,0) = 0; }
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|
else
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{ mspref(r_MSDptr,0) = shiftleftcopy_loop_lsp(a_LSDptr,r_LSDptr,a_len,s); }
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// Nun r = r_MSDptr/a_len+1/r_LSDptr.
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var uintC j = a_len-b_len; // m-n
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var uintD* q_MSDptr = r_MSDptr;
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var uintC q_len = j+1; // q wird m-n+1 Digits haben
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if (cl_recip_suitable(a_len,b_len))
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{ // Bestimme Kehrwert c von b.
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var uintD* c_MSDptr;
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var uintD* c_LSDptr;
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num_stack_alloc(j+3,c_MSDptr=,c_LSDptr=);
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cl_UDS_recip(b_MSDptr,b_len,c_MSDptr,j+1);
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// c hat j+3 Digits, | beta^(m+2)/b - c | < beta.
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|
// Mit a' = floor(a/beta^n) multiplizieren, liefert d':
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var uintD* d_MSDptr;
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UDS_UDS_mul_UDS(j+1,r_MSDptr mspop (j+1), j+3,c_MSDptr mspop (j+3),
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d_MSDptr=,,);
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|
// d' has 2*j+4 digits, d := floor(d'/beta^(j+2)) has j+2 digits.
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|
// | beta^(m+2)/b - c | < beta ==> (since a < beta^(m+1))
|
|
// | beta^(m+2)*a/b - a*c | < beta^(m+2),
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|
// 0 <= a - a'*beta^n < beta^n ==> (since c <= 2*beta^(j+2))
|
|
// 0 <= a*c - a'*c*beta^n < 2*beta^(m+2) ==>
|
|
// -beta^(m+2) < beta^(m+2)*a/b - a'*c*beta^n < 3*beta^(m+2) ==>
|
|
// -1 < a/b - a'*c*beta^(-j-2) < 3 ==>
|
|
// -1 < a/b - d'*beta^(-j-2) < 3,
|
|
// -1 < d'*beta^(-j-2) - d <= 0 ==>
|
|
// -2 < a/b - d < 3 ==>
|
|
// -2 <= q - d < 3 ==> |q-d| <= 2.
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|
var uintD* d_LSDptr = d_MSDptr mspop (j+2);
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|
// Zur Bestimmung des Restes wieder mit b multiplizieren:
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var uintD* p_MSDptr;
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|
var uintD* p_LSDptr;
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|
UDS_UDS_mul_UDS(j+2,d_LSDptr, b_len,b_LSDptr, p_MSDptr=,,p_LSDptr=);
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|
// d ist um höchstens 2 zu groß, muß also evtl. zweimal um 1
|
|
// decrementieren, bis das Produkt <= a wird.
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if ((mspref(p_MSDptr,0) > 0) || (compare_loop_msp(p_MSDptr mspop 1,r_MSDptr,a_len+1) > 0))
|
|
{ dec_loop_lsp(d_LSDptr,j+2);
|
|
if (subfrom_loop_lsp(b_LSDptr,p_LSDptr,b_len))
|
|
dec_loop_lsp(p_LSDptr lspop b_len,j+2);
|
|
if ((mspref(p_MSDptr,0) > 0) || (compare_loop_msp(p_MSDptr mspop 1,r_MSDptr,a_len+1) > 0))
|
|
{ dec_loop_lsp(d_LSDptr,j+2);
|
|
if (subfrom_loop_lsp(b_LSDptr,p_LSDptr,b_len))
|
|
dec_loop_lsp(p_LSDptr lspop b_len,j+2);
|
|
if ((mspref(p_MSDptr,0) > 0) || (compare_loop_msp(p_MSDptr mspop 1,r_MSDptr,a_len+1) > 0))
|
|
cl_abort();
|
|
} }
|
|
// Rest bestimmen:
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|
subfrom_loop_lsp(p_LSDptr,r_LSDptr,a_len+1);
|
|
if (test_loop_msp(r_MSDptr,j)) cl_abort();
|
|
r_MSDptr = r_LSDptr lspop b_len; // = r_MSDptr mspop (j+1);
|
|
// d ist um höchstens 2 zu klein, muß also evtl. zweimal um 1
|
|
// incrementieren, bis der Rest < b wird.
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|
if ((lspref(r_MSDptr,0) > 0) || (compare_loop_msp(r_MSDptr,b_MSDptr,b_len) >= 0))
|
|
{ inc_loop_lsp(d_LSDptr,j+2);
|
|
if (subfrom_loop_lsp(b_LSDptr,r_LSDptr,b_len))
|
|
lspref(r_LSDptr,b_len) -= 1;
|
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if ((lspref(r_MSDptr,0) > 0) || (compare_loop_msp(r_MSDptr,b_MSDptr,b_len) >= 0))
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{ inc_loop_lsp(d_LSDptr,j+2);
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if (subfrom_loop_lsp(b_LSDptr,r_LSDptr,b_len))
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lspref(r_LSDptr,b_len) -= 1;
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if ((lspref(r_MSDptr,0) > 0) || (compare_loop_msp(r_MSDptr,b_MSDptr,b_len) >= 0))
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cl_abort();
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} }
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// r ist fertig, q := d.
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if (mspref(d_MSDptr,0) > 0) cl_abort();
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q_len = j+1; copy_loop_msp(d_MSDptr mspop 1,q_MSDptr,q_len);
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}
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else
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{ var uintD* r_ptr = r_LSDptr lspop j; // Pointer oberhalb von r[j]
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j = j+1;
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var uintD b_msd = mspref(b_MSDptr,0); // b[n-1]
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var uintD b_2msd = mspref(b_MSDptr,1); // b[n-2]
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#if HAVE_DD
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var uintDD b_msdd = highlowDD(b_msd,b_2msd); // b[n-1]*beta+b[n-2]
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#endif
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// Divisions-Schleife: (wird m-n+1 mal durchlaufen)
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// j = Herabzähler, b_MSDptr/b_len/b_LSDptr = [b[n-1],...,b[0]], b_len=n,
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// r_MSDptr = Pointer auf r[n+j] = Pointer auf q[j],
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// r_ptr = Pointer oberhalb von r[j].
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do { var uintD q_stern;
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var uintD c1;
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if (mspref(r_MSDptr,0) < b_msd) // r[j+n] < b[n-1] ?
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{ // Dividiere r[j+n]*beta+r[j+n-1] durch b[n-1], ohne Überlauf:
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#if HAVE_DD
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divuD(highlowDD(mspref(r_MSDptr,0),mspref(r_MSDptr,1)),b_msd, q_stern=,c1=);
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#else
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divuD(mspref(r_MSDptr,0),mspref(r_MSDptr,1),b_msd, q_stern=,c1=);
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#endif
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}
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else
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{ // Überlauf, also r[j+n]*beta+r[j+n-1] >= beta*b[n-1]
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q_stern = bitm(intDsize)-1; // q* = beta-1
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// Teste ob r[j+n]*beta+r[j+n-1] - (beta-1)*b[n-1] >= beta
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// <==> r[j+n]*beta+r[j+n-1] + b[n-1] >= beta*b[n-1]+beta
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// <==> b[n-1] < floor((r[j+n]*beta+r[j+n-1]+b[n-1])/beta) {<= beta !} ist.
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// Wenn ja, direkt zur Subtraktionschleife.
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// (Andernfalls ist r[j+n]*beta+r[j+n-1] - (beta-1)*b[n-1] < beta
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// <==> floor((r[j+n]*beta+r[j+n-1]+b[n-1])/beta) = b[n-1] ).
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if ((mspref(r_MSDptr,0) > b_msd) || ((c1 = mspref(r_MSDptr,1)+b_msd) < b_msd))
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// r[j+n] >= b[n-1]+1 oder
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// r[j+n] = b[n-1] und Addition r[j+n-1]+b[n-1] gibt Carry ?
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{ goto subtract; } // ja -> direkt in die Subtraktion
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}
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// q_stern = q*,
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// c1 = (r[j+n]*beta+r[j+n-1]) - q* * b[n-1] (>=0, <beta).
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#if HAVE_DD
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{ var uintDD c2 = highlowDD(c1,mspref(r_MSDptr,2)); // c1*beta+r[j+n-2]
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var uintDD c3 = muluD(b_2msd,q_stern); // b[n-2] * q*
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// Solange c2 < c3, c2 erhöhen, c3 erniedrigen:
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// Rechne dabei mit c3-c2:
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// solange >0, um b[n-1]*beta+b[n-2] erniedrigen.
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// Dies kann wegen b[n-1]*beta+b[n-2] >= beta^2/2
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// höchstens zwei mal auftreten.
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if (c3 > c2)
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{ q_stern = q_stern-1; // q* := q* - 1
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if (c3-c2 > b_msdd)
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{ q_stern = q_stern-1; } // q* := q* - 1
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} }
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#else
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// Wie oben, nur mit zweigeteilten c2=[c2hi|c2lo] und c3=[c3hi|c3lo]:
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#define c2hi c1
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{ var uintD c2lo = mspref(r_MSDptr,2); // c2hi*beta+c2lo = c1*beta+r[j+n-2]
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var uintD c3hi;
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var uintD c3lo;
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muluD(b_2msd,q_stern, c3hi=,c3lo=); // c3hi*beta+c3lo = b[n-2] * q*
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if ((c3hi > c2hi) || ((c3hi == c2hi) && (c3lo > c2lo)))
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{ q_stern = q_stern-1; // q* := q* - 1
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c3hi -= c2hi; if (c3lo < c2lo) { c3hi--; }; c3lo -= c2lo; // c3 := c3-c2
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|
if ((c3hi > b_msd) || ((c3hi == b_msd) && (c3lo > b_2msd)))
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|
{ q_stern = q_stern-1; } // q* := q* - 1
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} }
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#undef c2hi
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#endif
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if (!(q_stern==0))
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subtract:
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{ // Subtraktionsschleife: r := r - b * q* * beta^j
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var uintD carry = mulusub_loop_lsp(q_stern,b_LSDptr,r_ptr,b_len);
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// Noch r_ptr[-b_len-1] -= carry, d.h. r_MSDptr[0] -= carry
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// durchführen und danach r_MSDptr[0] vergessen:
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if (carry > mspref(r_MSDptr,0))
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// Subtraktion ergab Übertrag
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{ q_stern = q_stern-1; // q* := q* - 1
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addto_loop_lsp(b_LSDptr,r_ptr,b_len); // Additionsschleife
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// r[n+j] samt Carry kann vergessen werden...
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} }
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// Berechnung von q* ist fertig.
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msprefnext(r_MSDptr) = q_stern; // als q[j] ablegen
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r_ptr = r_ptr mspop 1;
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}
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until (--j == 0);
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}
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// Nun ist q = [q[m-n],..,q[0]] = q_MSDptr/q_len/r_MSDptr
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// und r = [r[n-1],...,r[0]] = r_MSDptr/b_len/r_LSDptr.
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// q normalisieren und ablegen:
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if (mspref(q_MSDptr,0)==0)
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{ msshrink(q_MSDptr); q_len--; }
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q_->MSDptr = q_MSDptr; q_->len = q_len; q_->LSDptr = r_MSDptr;
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// Schiebe [r[n-1],...,r[0]] um s Bits nach rechts:
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if (!(s==0))
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{ shiftright_loop_msp(r_MSDptr,b_len,s); }
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// r normalisieren und ablegen:
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while ((b_len>0) && (mspref(r_MSDptr,0)==0))
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{ msshrink(r_MSDptr); b_len--; }
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r_->MSDptr = r_MSDptr; r_->len = b_len; r_->LSDptr = r_LSDptr;
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return;
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}}
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}
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// Bit complexity (N = a_len): O(M(N)).
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} // namespace cln
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